PLANETAS TIERRA Y MARTE
ECUACIÓN DEL TIEMPO Y ANALEMA
Un analema (del griego antiguo αναλημμα – “soporte”) es un diagrama que muestra la posición del Sol en el cielo vista desde una ubicación fija en la Tierra a la misma hora solar media, a medida que esa posición varía a lo largo de un año. Está directamente relacionado con la llamada ecuación del tiempo —la diferencia entre el tiempo solar medio y el verdadero (es decir, la diferencia entre las ascensiones rectas del Sol verdadero y el medio)—:
Esta diferencia se debe a dos razones: la inclinación del eje de rotación del planeta (oblicuidad) y la excentricidad de su órbita.
Suponga que el planeta pasa por el perihelio en el instante $t = 0$. Si el planeta se moviera uniformemente, su posición estaría determinada por la anomalía media:
donde $T$ es el período orbital del planeta.
La posición real del planeta en su órbita está determinada por la anomalía verdadera $\nu$. La anomalía verdadera $\nu$ se relaciona geométricamente con la anomalía excéntrica $E$, la cual muestra la posición de un punto imaginario sobre el círculo auxiliar (ver figura 1).
Tenga en cuenta que:
donde $e$ es la excentricidad de la órbita del planeta. Además, las anomalías media y excéntrica (expresadas en radianes) se relacionan mediante la ecuación de Kepler:
a) Grafique la diferencia $(\nu - M)$ como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte. Por conveniencia, exprese $(\nu - M)$ en minutos "locales": 1 día solar = 24 horas, 1 hora = 60 minutos.
Sea $x$ la longitud eclíptica del Sol medida desde el equinoccio vernal para el planeta cuando este se encuentra en el perihelio. Puede encontrar los valores correspondientes en la Tabla de Constantes.
b) Exprese la longitud eclíptica "local" del Sol $\lambda$ en términos de $\nu$ y $x$.
Los ángulos horarios y las ascensiones rectas se miden a lo largo del ecuador celeste. Dado que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste por un ángulo $\epsilon$, ambos parámetros se relacionan con la longitud eclíptica de forma no lineal. Por ejemplo, para la ascensión recta $\alpha$ tenemos:
c) Grafique la diferencia $(\alpha - \lambda)$ expresada en minutos "locales" como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte.
La ecuación del tiempo se puede representar como la suma:
d) Grafique la ecuación del tiempo $\eta$ expresada en minutos "locales" como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte.
La declinación del Sol $\delta$ se puede expresar mediante la fórmula:
e) Grafique el analema correspondiente al mediodía medio para un observador en latitudes medias del Hemisferio Norte de la Tierra y Marte (el norte es hacia arriba, el oeste es a la derecha).
f) En la Figura 2 se muestran los analemas de cinco planetas imaginarios. Determine los parámetros $e$, $x$ y $\epsilon$ para cada modelo. En caso de que existan varias respuestas posibles, por favor proporcione cualquiera de ellas.
Efecto de la Excentricidad: $(\nu - M)$ vs $t$
b) Los parámetros $\lambda$, $\nu$ y $x$ se miden a lo largo de la eclíptica «local» en la misma dirección. Además, $\Delta\lambda = \Delta\nu$. Cuando el planeta se encuentra en el perihelio, $\lambda = x$ y $\nu = 0$, por lo que:
Los ángulos horarios y las ascensiones rectas se miden a lo largo del ecuador celeste. Dado que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste un ángulo $\varepsilon$, ambos parámetros se relacionan de forma no lineal con la longitud eclíptica. Por ejemplo, para la ascensión recta $\alpha$ tenemos:
1. Fundamento teórico
El término $(\alpha - \lambda)$ representa la contribución exclusiva de la oblicuidad de la eclíptica ($\epsilon$, la inclinación del eje del planeta) a la Ecuación del Tiempo.
$\lambda$ (longitud eclíptica del Sol): Mide la posición del Sol a lo largo del plano de la eclíptica (el plano orbital del planeta).
$\alpha$ (ascensión recta del Sol): Mide la proyección de la posición del Sol sobre el ecuador celeste.
Descripción de conceptos. La longitud eclíptica del Sol en el perihelio (denotada en la tabla como la variable $x$) es el ángulo medido sobre el plano de la eclíptica desde el equinoccio de primavera (Punto Aries, $0^\circ$) hasta la posición aparente del Sol en el momento exacto en que el planeta se encuentra en su punto de máxima proximidad al Sol (perihelio).
En esta parte del ejercicio se requiere tener en cuenta que:
Paso 1: Establecer el sistema de referencia ($0^\circ$)
En astronomía, las posiciones sobre el plano eclíptico se miden en sentido antihorario a partir de un punto fijo de origen: el equinoccio de marzo o Punto Aries ($\Upsilon = 0^\circ$).
Solsticio de verano (junio): $90^\circ$
Equinoccio de otoño (septiembre): $180^\circ$
Solsticio de invierno (diciembre): $270^\circ$
Paso 2: Identificar el perihelio
El perihelio es el punto físico de la órbita donde la distancia entre el planeta y el Sol es mínima. Como la órbita está orientada de forma fija en el espacio, la línea que une el Sol con el perihelio apunta siempre hacia una dirección angular específica sobre la eclíptica.
Paso 3: Interpretación de los valores astronómicos
Tierra ($x = 282.9^\circ$):
La Tierra alcanza su perihelio a principios de enero. En ese momento, la longitud eclíptica del Sol es $282.9^\circ$ (ligeramente por delante del solsticio de invierno de $270^\circ$).
Marte ($x = 336.1^\circ$):
Cuando Marte pasa por su perihelio, la posición angular del Sol respecto al equinoccio marciano se encuentra a $336.1^\circ$.
Paso 4: Definir su función matemática ($\lambda = \nu + x$)
En los modelos orbitales y en el cálculo de la Ecuación del Tiempo, la anomalía verdadera ($\nu$) mide el movimiento del planeta tomando como origen el perihelio ($\nu = 0^\circ$) y la longitud eclíptica ($\lambda$) mide la posición tomando como origen el equinoccio ($\lambda = 0^\circ$).
El parámetro $x$ actúa como la constante de desfase angular para sincronizar ambos sistemas de coordenadas:
Cuando el planeta está en el perihelio ($\nu = 0^\circ$), se cumple que $\lambda = 0^\circ + x = x$.
Paso 5: Conversión de unidades
Para utilizar esta variable en funciones trigonométricas en programación o cálculo vectorial, el ángulo expresado en grados sexagesimales se convierte a radianes mediante la relación:
Tierra: $282.9^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 4.938\text{ rad}$
Marte: $336.1^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 5.866\text{ rad}$
Debido a que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste por un ángulo $\epsilon$, la proyección no es uniforme: aunque el Sol avance a un ritmo constante a lo largo de la eclíptica, su sombra proyectada en el ecuador celeste ($\alpha$) se acelera cerca de los solsticios y se desacelera cerca de los equinoccios.
La relación entre ambas coordenadas viene dada por la trigonometría esférica:
2. Desarrollo matemático
Para calcular y graficar $(\alpha - \lambda)$ en función del tiempo transcurrido $t \in [0, T]$:
Paso 1: Cálculo de la anomalía media ($M$) y verdadera ($\nu$)
Para cada tiempo $t/T$:
$M(t) = 2\pi \left(\frac{t}{T}\right)$
Se resuelve la Ecuación de Kepler $E - e \sin E = M$ mediante el método de Newton-Raphson.
Se calcula la anomalía verdadera $\nu$:
$$\nu = 2 \cdot \arctan\left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\left(\frac{E}{2}\right) \right)$$
Paso 2: Obtención de la longitud eclíptica ($\lambda$)
Con el valor de $\nu$ y conociendo la posición del perihelio $x$ medida desde el equinoccio vernal:
Paso 3: Obtención de la ascensión recta ($\alpha$)
Aplicando la arcotangente de dos argumentos para asegurar la continuidad en los 4 cuadrantes:
Paso 4: Ajuste de rango y conversión a minutos locales
Se ajusta la diferencia $\Delta = \alpha - \lambda$ al rango $[-\pi, \pi]$ para evitar saltos discontinuos de $2\pi$ cuando el Sol cruza el equinoccio. Finalmente, se convierte a minutos de tiempo local:
3. Parámetros astronómicos utilizados
| Parámetro | Descripción | Tierra | Marte |
| $e$ | Excentricidad orbital | $0.0167$ | $0.0934$ |
| $\epsilon$ | Oblicuidad de la eclíptica | $23.44^\circ$ ($0.4091\text{ rad}$) | $25.19^\circ$ ($0.4396\text{ rad}$) |
| $x$ | Longitud eclíptica del Sol en el perihelio | $282.9^\circ$ ($4.938\text{ rad}$) | $336.1^\circ$ ($5.866\text{ rad}$) |
4. Características principales del comportamiento de $(\alpha - \lambda)$
Periodicidad semi-anual: A diferencia del efecto de la excentricidad $(\nu - M)$ que realiza un solo ciclo por año, la curva $(\alpha - \lambda)$ realiza dos ciclos completos por órbita (onda semianual con 4 ceros situados en los equinoccios y solsticios).
Amplitud: Alcanza máximos y mínimos cercanos a los $\pm 9.8 \text{ minutos}$ para la Tierra ($\epsilon = 23.44^\circ$) y $\pm 11.5 \text{ minutos}$ para Marte ($\epsilon = 25.19^\circ$).
Desfase por el perihelio ($x$): Las curvas están desplazadas horizontalmente debido a que los perihelios de la Tierra y Marte no coinciden exactamente con la posición del equinoccio vernal.
e) Gráficas del analema correspondiente al mediodía medio para un observador en latitudes medias del Hemisferio Norte de la Tierra y Marte, respectivamente.
f) Analemas de los planetas imaginarios 1 y 2. Los demás los puedes obtener con el applet pulsando en cualquiera de las imágenes.
Análisis:
Paso 1: Deducción de la oblicuidad ($\epsilon$)
La declinación solar ($\delta$) representa el ángulo del Sol por encima o por debajo del ecuador celeste del planeta a lo largo de su año. Su rango límite absoluto está determinado de forma directa por la inclinación del eje de rotación (oblicuidad $\epsilon$):
Lectura del analemma: Al observar el eje vertical de la gráfica del analemma, la curva alcanza un valor máximo superior de $\delta = +30^\circ$ y un valor mínimo inferior de $\delta = -30^\circ$.
Conclusión: La oblicuidad del planeta corresponde exactamente a la declinación máxima alcanzada en los solsticios:
$$\epsilon = 30^\circ$$
Paso 2: Deducción de la longitud del perihelio ($x$)
La Ecuación del Tiempo ($\eta$) combina dos efectos: la excentricidad orbital y la oblicuidad de la eclíptica. La orientación del analemma y su simetría dependen de la posición del perihelio respecto a los equinoccios y solsticios.
Evaluación de simetría: La gráfica presenta una figura ovalada perfectamente simétrica y centrada en el origen $(\delta = 0^\circ, \eta = 0\text{ min})$.
Puntos nulos ($\eta = 0$): En la figura se observa que cuando la declinación es máxima o mínima ($\delta = \pm 30^\circ$, que corresponde a los solsticios), la Ecuación del Tiempo se anula ($\eta = 0$).
Alineación geométrica: Para que el desfase temporal sea cero exactamente en los solsticios, la línea de los ápsides (la dirección hacia el perihelio) debe estar alineada con el eje de los solsticios sobre la eclíptica.
Conclusión: Los solsticios ocurren a las longitudes eclípticas $\lambda = 90^\circ$ (solsticio de verano) y $\lambda = 270^\circ$ (solsticio de invierno). Por lo tanto:
$$x = 90^\circ \quad \text{o} \quad x = 270^\circ$$
Paso 3: Deducción de la excentricidad orbital ($e$)
La amplitud horizontal del analemma representa el valor en minutos de la Ecuación del Tiempo ($\eta$). Cuando el perihelio coincide con un solsticio, el efecto de la excentricidad domina la amplitud total de la curva.
Lectura en el equinoccio: Al examinar el punto donde la declinación cruza el ecuador ($\delta = 0^\circ$), el analemma alcanza su desviación horizontal máxima de $\eta = \pm 120\text{ min}$.
Relación matemática: La contribución máxima de la excentricidad en minutos de tiempo local se aproxima mediante la fórmula de la anomalía orbital convertida a minutos de un día completo ($1440\text{ min} / 2\pi\text{ rad} \approx 229.18\text{ min/rad}$):
Resumen de resultados
| Parámetro astronómico | Símbolo | Valor deducido |
| Excentricidad orbital | $e$ | $0.26$ |
| Oblicuidad de la eclíptica | $\epsilon$ | $30^\circ$ |
| Longitud del perihelio | $x$ | $90^\circ$ (o $270^\circ$) |
[https://my.sirius.online/content/OWAO_2024_Practical_Round_Solutions.pdf]
