La Armonía de los mundos
Entendiendo la tercera Ley de Kepler
La Tercera Ley de Kepler es fascinante porque establece una relación matemática exacta entre la distancia de un planeta al Sol y el tiempo que tarda en completar su órbita . Para entender por qué los planetas se mueven a la velocidad que lo hacen, debemos conectar la geometría de Johannes Kepler con las fuerzas físicas de Isaac Newton.
1. El Fundamento físico
Kepler descubrió, de forma empírica, que el cuadrado del periodo orbital ( P ) es proporcional al cubo de la distancia media al Sol (a ). Sin embargo, fue Newton quien explicó el porqué.
Si consideramos la órbita de la Tierra como un círculo casi perfecto, la fuerza de Gravitación Universal actúa como la fuerza centrípeta
que mantiene al planeta en su trayectoria.
Partimos de la igualdad:
.Sustituyendo las fórmulas correspondientes, donde M es la masa del Sol, m la de la Tierra, r la distancia yv la velocidad orbital:
2. Obtención de la tercera ley
Sabemos que la velocidad en un círculo es el perímetro dividido por el tiempo (periodo ):
Al sustituir esto en la ecuación anterior y simplificar, obtenemos:
Esta es la forma física de la tercera Ley de Kepler . Nos dice que la relación entre el cubo de la radio y el cuadrado del tiempo es una constante que solo depende de la masa de la estrella central.
Aactividades
El simulador como laboratorio virtual
Actividad 1: El desafío de la constante de Kepler ( K )
Objetivo: Demostrar que todos los cuerpos que orbitan el Sol comparten la misma proporción.
Instrucciones: Configura el simulador para tres planetas distintos (pueden ser la Tierra, Marte y Júpiter).
Tarea: Debes anotar el semieje mayor ( a en UA) y el periodo orbital ( T en años).
Cálculo : Aplicar la fórmula:
Pregunta de reflexión: ¿Por qué, a pesar de tener órbitas de tamaños tan diferentes, el resultado de K es siempre cercano a 1 ?
Actividad 2: Predicción del "año" de un planeta desconocido
Objetivo: Usar la ley para predecir el comportamiento orbital.
Instrucciones: Investiga la distancia de un planeta hipotético o un asteroide (por ejemplo, un objeto a 4 UA del Sol).
Tarea: Sin usar el simulador inicialmente, debes calcular el periodo T. Luego, debes ajustar el semieje mayor en el applet a 4 UA y verificar si el tiempo de traslación coincide con tu cálculo.
Fórmula de ayuda: T = \sqrt{a^3}.
Actividad 3: ¿Afecta la excentricidad a la duración del año?
Objetivo: Comprender que el periodo solo depende del semieje mayor, no de la "forma" de la elipse.
Instrucciones:
Fija un semieje mayor (ej. 2 UA) con una excentricidad baja ( e = 0.01 ). Mide el tiempo de una órbita.
Mantén el mismo semieje mayor ( 2 UA) pero aumenta la excentricidad al máximo permitido ( e = 0.8 ).
Tarea: Compara los tiempos. Por qué aunque la órbita se "estire", el tiempo total para volver al inicio es el mismo.
Conclusión: La tercera ley solo se fija en la distancia promedio ( a ), no en qué tan aplastada esté la órbita.
Actividad 4: Cazadores de exoplanetas
Objetivo: Aplicar la ley a otros sistemas estelares.
Contexto: Recuerda que sí una estrella es más masiva que el Sol, la constante K cambia.
Tarea: Si descubrimos un planeta que está a 1 UA de su estrella (como la Tierra) pero tarda solo 6 meses en dar la vuelta (0,5 años), ¿qué puedes deducir sobre la masa de esa estrella en comparación con nuestro Sol?
Pista: Una estrella más masiva "tira" con más fuerza, obligando al planeta a ir más rápido para no caer en ella.
