Escala logarítmica
Desafío de escala: Observa cómo las divisiones se comprimen al final de cada década. Si existiera un objeto a 1000 UA, su "año" duraría aproximadamente 16.000 años, 32.000 años, 50.000 años o 70.000 años. Resuelve! .
El aprendizaje profundo no ocurre cuando aplicas una fórmula de memoria, sino cuando usas el simulador para poner a prueba tus hipótesis .
Aquí tienes 5 ejercicios " Retos de Investigación ". Estos ejercicios exigen que manipule los parámetros de los applets, observe los datos del cronómetro y la tabla, y deduzcas las leyes físicas subyacentes.
Un nuevo cometa ha sido descubierto. Su órbita es extremadamente alargada ( e = 0,8 ). Los astrónomos observan que tarda exactamente 30 días en recorrer su arco cerca del Sol (perihelio). Utiliza el simulador configurando e = 0,8 e intervalo de 30 días. Observa el "Sector 1" (perihelio) y compáralo visualmente con un sector cerca del afelio. Si el área barrida debe ser la misma, pero en el afelio el cometa está 9 veces más lejos del Sol que en el perihelio, ¿cómo debe ser la longitud del arco (camino recorrido) en el afelio para compensar esa distancia? No te limites a decir "va más lento". Calcula cuántas veces más pequeño es el arco en el afelio basándote en la geometría de los sectores que muestra el applet.
Este Reto 1 es fundamental para dejar de ver el "área" como una entidad abstracta y empezar a verla como un sector geométrico real que debe deformarse para mantener su valor constante.
Primero, configuramos nuestro applet con los parámetros del enunciado:
Excentricidad ( e ): 0.8000 (Una órbita muy "aplastada", típica de los cometas).
Intervalo: 30 días.
Al darle a INICIAR , observamos cómo se genera el primer sector en el perihelio .
En este punto, el cometa está a su distancia mínima al Sol .
Observación: El sector parece un triángulo corto y muy ancho.
Razón: Como la "radio" (la distancia sol-cometa) es pequeña, el cometa debe compensar recorriendo mucha distancia sobre la órbita (un arco largo) para "encerrar" la cantidad de área requerida en esos 30 días.
Velocidad: Aquí la velocidad orbital es máxima .
Cuando el cometa llega al punto más lejano de su órbita :
Observación: El sector ahora parece una "rebanada" de pizza muy larga y extremadamente delgada.
Razón: El "radio" es ahora inmenso. Una pequeña variación en el ángulo de la barra tiene una superficie enorme debido a la longitud de los lados del sector.
La compensación: Para que el área de esta rebanada larga sea igual a la del perihelio, el arco (la base de la rebanada) debe ser pequeñísimo.
La física nos dice que la distancia en el afelio ( ra ) y en el perihelio ( rp ) se relacionan por la excentricidad:
Si dividimos ambas para ver la proporción:
Conclusión: El cometa está 9 veces más lejos en el afelio que en el perihelio.
Para que el área se mantenga igual ( A = base x altura / 2, aproximadamente), si la altura (distancia al Sol) ha aumentado 9 veces , la base (arco recorrido sobre la órbita) debe ser 9 veces más pequeña
Solución: El arco recorrido en el afelio es exactamente 1/9 parte del arco recorrido en el perihelio.
Vínculo con la velocidad: Esto demuestra por qué el cometa se mueve 9 veces más lento en el punto más lejano.
Sugerencia : "Si miras la tabla de tu applet, verás que el área del Sector 1 y del Sector 7 (aprox. afelio) son casi idénticos (ej. 450.22 u²). La magia de Kepler es que la naturaleza 'estira' la radio y 'encoge' el camino con una precisión matemática absoluta".
Tienes dos planetas, Alfa y Beta. Alfa tiene una órbita circular perfecta ( e = 0,0 ), mientras que Beta tiene una órbita muy excéntrica ( e = 0,7 ). Sin embargo, ambos tienen exactamente el mismo semieje mayor ( a = 1,5 UA). Ajusta el simulador primero con e = 0,0 y luego con e = 0,7 . Inicie el cronómetro en ambos casos.
A) Al completar la órbita, ¿cuál de los dos planetas registra un "año" más largo en el cronómetro?
B) Muchos estudiantes creen que al recorrer una elipse "más aplastada" el camino es más largo y tardará más. Analiza los resultados del cronómetro y justifica por qué la Tercera Ley de Kepler ignora la excentricidad para determinar la duración del año.
RESOLUCIÓN
Configuramos el simulador en dos escenarios distintos, manteniendo siempre el semieje mayor ( a ) constante, ya que es el factor que determina el tamaño promedio de la órbita:
Escenario A (planeta Alfa): Excentricidad e = 0,0 (círculo perfecto).
Escenario B (planeta Beta): Excentricidad e = 0,7 (elipse muy alargada).
Al completar la misión, los estudiantes verán con asombro que:
Planeta Alfa: Tiempo total 365,25 días.
Planeta Beta: Tiempo total 365,25 días.
Para entenderlo, debemos analizar qué sucede con la velocidad en el planeta Beta (el elíptico):
En el perihelio: El planeta Beta se acerca mucho al Sol y "gana" una velocidad enorme, compensando gran parte del tiempo.
En el afelio: Se aleja y se mueve muy lento, perdiendo el tiempo que ganó antes.
El equilibrio: La Segunda Ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) garantiza que la aceleración en una zona y la desaceleración en otra se compensen de forma tan perfecta que el tiempo total de la vuelta depende exclusivamente de la distancia promedio al Sol (el semieje mayor a ).
La fórmula de la Tercera Ley es:
Observa que en la fórmula no aparece la letra e (excentricidad) . Esto significa que la duración del año de un planeta es totalmente independiente de qué tan circular o elíptica sea su órbita.
El "año" de ambos planetas es idéntico . La forma de la órbita cambia el "ritmo" del viaje (a veces rápido, a veces lento), pero no cambia la duración total del trayecto.
R eflexión: Si la Tierra de repente cambiara su órbita circular por una elíptica (manteniendo el mismo semieje mayor), seguiríamos teniendo 365 días por año, aunque las estaciones serían climáticamente extremas y violentas debido a los cambios de distancia.
Lo que "parece" lógico (que la elipse es más larga) es compensado por otra variable (la velocidad).
Imagina que eres un ingeniero de la ABAE planeando una misión a Marte. Marte tiene una excentricidad de 0,09, aproximadamente . Ajusta la excentricidad a 0,093 y el intervalo a 30 días. Inicia el cronómetro.
A) Observa la tabla de áreas. ¿Notas una diferencia significativa entre las áreas de los sectores en este planeta comparado con uno de excentricidad 0,7 ?
B) ¿Por qué para los astrónomos antiguos fue mucho más difícil descubrir la Segunda Ley usando planetas como Marte o la Tierra, en comparación con lo que ocurriría si nuestro sistema tuviera planetas con órbitas muy excéntricas?
RESOLUCIÓN
Kepler trabajó durante años con los datos de Tycho Brahe , centrándose especialmente en Marte . Si Marte hubiera tenido una órbita circular perfecta, Kepler nunca habría descubierto sus leyes.
Instrucciones para el estudiante:
Ajusta la e xcentricidad a 0.093 (la excentricidad real de Marte).
Configure el intervalo en 30 días .
Inicia el simulador y deja que complete la órbita.
Al mirar la columna de á rea calculada , notarás algo frustrante:
Los valores de las áreas son prácticamente iguales (ej. 314.15, 314.16, 314.14...).
El problema visual: A diferencia del Reto 1 (donde e = 0,8 ), aquí los sectores del perihelio y del afelio se ven casi idénticos . La diferencia de velocidad es tan sutil que el ojo humano apenas la percibe.
Porque con una excentricidad de solo 0.093 :
La diferencia entre el punto más cercano y el más lejano es de apenas un 10% aproximadamente.
Los instrumentos de medición de la época (sin telescopios potentes) tenían un margen de error que casi igualaba a esa diferencia.
"Si los datos de Marte fueran solo un poquito más imprecisos, ¿podría Kepler haber afirmado que la órbita era un círculo perfecto?"
Marte es el "planeta clave" porque su excentricidad es lo suficientemente grande como para ser detectada por un genio como Kepler, pero lo suficientemente pequeña como para que otros astrónomos la ignoran pensando que eran errores de medición.
Con este reto ha aprendido que la precisión en la toma de datos es la frontera entre una opinión y una ley científica.
Observe el cronómetro mientras el planeta se mueve desde el punto más lejano (afelio) hacia el punto más cercano (perihelio). Activa el simulador con e = 0,5 . Divide mentalmente la órbita en dos mitades: la que se aleja del Sol y la que se acerca.
A) ¿En qué momento exacto el cronómetro parece "ganarle" a la distancia recorrida? Es decir, ¿en qué tramo el planeta parece luchar más contra el tiempo para cubrir su área?
B) Vincula tu observación con el concepto de energía. ¿Dónde crees que el planeta tiene más energía cinética y dónde más energía potencial gravitatoria? ¿Cómo "lee" la segunda ley de Kepler este intercambio de energías?
Configuramos el simulador con una excentricidad alta para que el fenómeno sea evidente:
Excentricidad ( e ): 0,6000 .
Intervalo: No es necesario para este reto, pero podemos dejarlo en 30 días .
Pide al estudiante que observe el planeta en dos fases distintas de la órbita:
Fase A (del perihelio al afelio): El planeta se está alejando del Sol. Aquí, el cronómetro parece "correr más" que el planeta. El planeta se va frenando visiblemente.
Fase B (del afelio al perihelio): El planeta "cae" hacia el Sol. Aquí, el planeta parece "ganarle" al cronómetro, recorriendo distancias enormes en muy poco tiempo.
Aquí es donde el estudiante debe vincular la geometría con la física:
Hacia el afelio: El Sol tira del planeta hacia atrás (fuerza gravitatoria opuesta al movimiento). La e nergía cinética (velocidad) se transforma en e nergía potencial gravitatoria (altura/distancia). Es como lanzar una piedra hacia arriba: se frena hasta alcanzar su altura máxima.
Hacia el perihelio: La gravedad tira del planeta a favor de su movimiento. La energía potencial se transforma de nuevo en cinematográfica. El planeta "cae" hacia el Sol pero, debido a su velocidad lateral, no choca, sino que lo rodea a toda velocidad.
El estudiante debe concluir que la segunda ley de Kepler es la manifestación visual de la conservación del momento angular.
Cuando la radio ( r ) aumenta, la velocidad ( v ) debe disminuir proporcionalmente para que el "ritmo" de barrido de área sea constante.
Respuesta al reto: El planeta lucha contra el tiempo en el a feliz , donde su energía cinética es mínima. La segunda ley "obliga" al planeta a moverse lento allá para que el área de esa "rebanada" tan larga no sea mayor que los demás.
Plutón es el planeta (o planeta enano) con la órbita más extrema del selector. Aquí la Tercera Ley se pone a prueba frente a una excentricidad alta. Selecciona Plutón en el menú. Notarás que el zoom se ajusta automáticamente . Observa la forma de la órbita de Plutón en comparación con la de la Tierra. Fíjate en el valor de la columna K para Plutón en la tabla.
A) A pesar de que la órbita de Plutón es muy elíptica y "estirada" ( e = 0,25 ), el valor de K sigue siendo 1,00 , igual que el de la Tierra.
B) Si encontraras un planeta con una órbita circular ( e = 0 ) y otro con una órbita de cometa ( e = 0.9 ), pero ambos tuvieran el mismo semieje mayor ( a ), ¿podrías afirmar que sus años duran lo mismo? Justifica tu respuesta usando los datos observados en la tabla del applet.
