FÍSICA DEL CUERPO NEGRO
LEY DE PLANCK
(Densidad de energía en función de la frecuencia)
Simulador de la Ley de Radiación de Planck (ν)
K
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FRECUENCIA MÁXIMA (ν_MÁX)
-
DENSIDAD MÁXIMA (u_ν,MÁX)
-
COORDENADA SELECCIONADA
Haz clic en un punto de la curva
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
1. El Concepto de cuerpo negro y la radiación térmica
Un cuerpo negro es un objeto idealizado en física y astrofísica que absorbe la totalidad de la radiación electromagnética que incide sobre él, sin reflejar ni transmitir ninguna fracción de energía. Al encontrarse en equilibrio termodinámico a una temperatura absoluta $T$ (medida en Kelvin), emite una radiación característica conocida como radiación de cuerpo negro.
La particularidad fundamental de este fenómeno radica en que la distribución espectral de la energía emitida depende exclusivamente de la temperatura del emisor, resultando independiente de la composición química o forma del objeto.
2. La física fclásica y la catástrofe ultravioleta
A finales del siglo XIX, Lord Rayleigh y Sir James Jeans intentaron derivar la distribución espectral de la radiación térmica aplicando los principios de la termodinámica clásica y el electromagnetismo de Maxwell. La Ley de Rayleigh-Jeans expresa la densidad de energía espectral en función de la longitud de onda ($\lambda$) como:
$$u_\lambda(\lambda, T) = \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4}$$
Donde $k_B$ es la constante de Boltzmann ($1.380649 \times 10^{-23} \text{ J/K}$), $\lambda$ es la longitud de onda en metros ($\text{m}$) y $T$ es la temperatura absoluta ($\text{K}$).
Para longitudes de onda largas (infrarrojo, microondas), la fórmula coincidía razonablemente bien con las mediciones experimentales. Sin embargo, cuando la longitud de onda tiende a cero ($\lambda \to 0$, en la región ultravioleta), la densidad de energía predicha por la física clásica tiende a infinito:
$$\lim_{\lambda \to 0} u_\lambda(\lambda, T) = \infty$$
Esta incoherencia matemática y física, según la cual cualquier cuerpo caliente debería emitir una cantidad infinita de energía en el ultravioleta, se denominó la catástrofe ultravioleta.
3. La hipótesis cuántica de Max Planck (1900)
Para solucionar esta inconsistencia, el físico alemán Max Planck introdujo un postulado revolucionario que dio origen a la mecánica cuántica: la radiación no se absorbe ni se emite de forma continua, sino en paquetes discretos de energía llamados cuantos (fotones).
La energía $E$ de cada cuanto es directamente proporcional a la frecuencia $\nu$, o inversamente proporcional a la longitud de onda $\lambda$:
$$E = h \nu = \frac{h c}{\lambda}$$
Donde $h$ es la constante de Planck ($h \approx 6.62607015 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$) y $c$ es la velocidad de la luz ($c \approx 2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}$).
4. Formulación matemática de la ley de Planck
Al combinar la distribución estadística cuántica de Bose-Einstein para un gas de fotones en una cavidad tridimensional, Planck derivó la expresión exacta para la densidad espectral de energía $u_\lambda(\lambda, T)$ en unidades del Sistema Internacional ($\text{J}\cdot\text{m}^{-4}$ o $\text{J}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{m}^{-1}$):
$$u_\lambda(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{\exp\left(\frac{hc}{\lambda k_B T}\right) - 1}$$
Análisis de la ecuación:
- Para $\lambda$ grandes ($\lambda \to \infty$): Se aproxima mediante la serie de Taylor $\exp(x) - 1 \approx x$, recuperando la Ley clásica de Rayleigh-Jeans.
- Para $\lambda$ pequeñas ($\lambda \to 0$): El término exponencial del denominador domina, haciendo que $u_\lambda \to 0$ y eliminando la catástrofe ultravioleta.
5. Leyes deducidas del espectro de Planck
A. Ley de desplazamiento de Wien
Derivando la distribución de Planck respecto a $\lambda$ e igualando a cero ($\frac{\partial u_\lambda}{\partial \lambda} = 0$), se obtiene la longitud de onda donde la emisión de energía es máxima:
$$\lambda_{\text{máx}} \cdot T = b$$
Donde $b$ es la constante de desplazamiento de Wien ($b \approx 2.8977719 \times 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K} = 2897.77 \ \mu\text{m}\cdot\text{K}$).
Esta ecuación expresa que a mayor temperatura, el pico espectral se desplaza hacia longitudes de onda más cortas (mayor energía).
B. Ley de Stefan-Boltzmann
Integrando la densidad de energía espectral sobre todo el espectro ($\int_0^\infty u_\lambda d\lambda$), se obtiene la densidad de energía total $U$:
$$U = a T^4 \quad \text{donde } a = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} \approx 7.5657 \times 10^{-16} \text{ J}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{K}^{-4}$$
6. Aplicaciones en Astronomía y Astrofísica
- Determinación de temperaturas estelares: Midiendo la longitud de onda del pico de emisión de una estrella, es posible calcular su temperatura fotosférica efectiva ($T_{\text{eff}}$). Por ejemplo, para el Sol ($\lambda_{\text{máx}} \approx 0.50 \ \mu\text{m}$), se obtiene $T \approx 5800 \text{ K}$.
- Fondo cósmico de microondas (CMB): El universo conserva una radiación remanente del Big Bang que ajusta de forma casi perfecta a una curva de cuerpo negro a $T = 2.7255 \text{ K}$, cuyo pico se sitúa en $\lambda_{\text{máx}} \approx 1.063 \text{ mm}$.
Applet Interactivo para Blogger
El siguiente código HTML5/JavaScript implementa la simulación con el eje de la densidad de energía en unidades estrictas del Sistema Internacional ($\text{J}\cdot\text{m}^{-4}$) y el eje de la longitud de onda ($\lambda$) en micrómetros ($\mu\text{m}$). Se garantizan límites inferiores nulos ($\min = 0$) para evitar regiones o valores negativos en la visualización, zoom o desplazamiento.
