Ejercicio 2 OWAO: Ceres

Ceres

Una nave espacial se encuentra en una órbita circular de radio r = 1.3 ua en el plano de la eclíptica. Se le proporciona instantáneamente a la nave una velocidad adicional de 5 km/s en la dirección de su movimiento, de modo que su órbita intersecta la órbita de 1 Ceres. ¿Cuál será la velocidad relativa entre la nave espacial y Ceres cuando la nave cruce su órbita por primera vez? La distancia entre Ceres y la nave espacial en ese momento es de 10⁶ km. Suponga que la órbita de Ceres es circular con un radio rc = 2.8 ua. Las direcciones del movimiento orbital de ambos objetos son las mismas.

SOLUCIÓN

Conceptos Fundamentales y Marco Teórico

1. Definición de los conceptos 

• Órbita circular: Trayectoria donde la distancia al cuerpo central (el Sol) es constante. La velocidad orbital tiene magnitud constante y es estrictamente perpendicular al vector de posición radial (velocidad transversal pura).

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• Impulso instantáneo ($\delta v$): Cambio brusco e instantáneo en el vector velocidad de una nave producido por sus motores. Si se aplica en la dirección del movimiento (progrado), incrementa la energía orbital sin cambiar instantáneamente la posición, convirtiendo el punto de aplicación en el perihelio de la nueva órbita.

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• Elementos orbitales (perihelio $r_p$, semieje mayor $a$, excentricidad $e$):

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  • Perihelio ($r_p$): Punto de menor distancia al Sol.

  • Semieje mayor ($a$): Determina el tamaño de la órbita y la energía mecánica total por unidad de masa.

  • Excentricidad ($e$): Mide la desviación de la órbita respecto a una circunferencia ($0 \le e < 1$ para elipses).

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• Componentes de velocidad (radial $v_r$ y transversal $v_\theta$):

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  • Velocidad radial ($v_r$): Componente a lo largo de la línea que une el Sol y la nave. Indica la rapidez con la que cambia la distancia heliocéntrica.

  • Velocidad transversal ($v_\theta$): Componente perpendicular al vector de posición en el plano orbital.

• Velocidad relativa ($\mathbf{v}_{\text{rel}}$): La diferencia vectorial entre la velocidad de la nave y la velocidad de Ceres en el instante en que la nave cruza la distancia orbital de Ceres ($r_C = 2.8\text{ AU}$).

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2. Leyes físicas y principios utilizados

1. Ecuación de la Vis-Viva (conservación de la energía mecánica orbital):

   Relaciona la velocidad $v$ de un cuerpo a una distancia $r$ del Sol con el semieje mayor $a$ de su órbita:

   $$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

   donde $\mu = G M_\odot$ es el parámetro gravitacional estándar del Sol.

2. Conservación del momento Angular específico ($h$):

   En un campo gravitacional central, el momento angular por unidad de masa es constante a lo largo de toda la órbita:

   $$h = r \cdot v_\theta = r_p \cdot v_p = \text{constante}$$

3. Velocidad circular orbital:

   Para una órbita circular de radio $r$, la velocidad de equilibrio es:

   $$v_c(r) = \sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

Formulación Matemática General

Paso 1: Estado inicial y velocidad tras el impulso

La nave se encuentra inicialmente en una órbita circular de radio $r_1 = 1.3\text{ AU}$. Su velocidad circular inicial es:

$$v_{c1} = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}$$

Al aplicar un impulso tangencial $\Delta v$, la nueva velocidad en ese punto es:

$$v_p = v_{c1} + \Delta v$$

Como el impulso es puramente tangencial en un punto circular, dicho punto se convierte en el perihelio de la nueva órbita elíptica ($r_p = r_1$).

Paso 2: Semieje mayor de la nueva órbita

Aplicando la ecuación de Vis-Viva en el perihelio $r_p$:

$$v_p^2 = \mu \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right) \implies \frac{1}{a} = \frac{2}{r_p} - \frac{v_p^2}{\mu}$$

Paso 3: Velocidad de la nave al cruzar la órbita de Ceres ($r = r_C$)

Cuando la nave alcanza la distancia orbital de Ceres ($r_C = 2.8\text{ AU}$), su velocidad total $v_{\text{sc}}$ viene dada por Vis-Viva:

$$v_{\text{sc}}^2 = \mu \left( \frac{2}{r_C} - \frac{1}{a} \right)$$

Paso 4: Descomposición de la velocidad de la nave en $r_C$

Por la conservación del momento angular $h$:

$$v_\theta = \frac{r_p v_p}{r_C}$$

La componente radial de la velocidad $v_r$ se obtiene por el teorema de Pitágoras:

$$v_r = \sqrt{v_{\text{sc}}^2 - v_\theta^2}$$

Paso 5: Velocidad orbital de Ceres y velocidad relativa

Ceres se mueve en una órbita circular de radio $r_C$, por lo que su velocidad es puramente transversal ($v_{r,C} = 0$):

$$v_C = \sqrt{\frac{\mu}{r_C}}$$

Restando vectorialmente los componentes de la nave y de Ceres:

• Diferencia radial: $\Delta v_r = v_r - 0 = v_r$

• Diferencia transversal: $\Delta v_\theta = v_\theta - v_C$

La magnitud de la velocidad relativa es:

$$v_{\text{rel}} = \sqrt{(\Delta v_r)^2 + (\Delta v_\theta)^2} = \sqrt{v_r^2 + (v_\theta - v_C)^2}$$

Desarrollando el álgebra:

$$v_{\text{rel}}^2 = v_r^2 + v_\theta^2 + v_C^2 - 2 v_\theta v_C = v_{\text{sc}}^2 + v_C^2 - 2 v_\theta v_C$$

Sustitución Numérica y Cálculo Paso a Paso

Constantes astronómicas utilizadas:

• Velocidad orbital de la Tierra a 1 AU: $v_0 = \sqrt{\mu / (1\text{ AU})} \approx 29.7847\text{ km/s}$

• Radio orbital inicial: $r_1 = 1.3\text{ AU}$

• Impulso aplicado: $\Delta v = 5.0\text{ km/s}$

• Radio orbital de Ceres: $r_C = 2.8\text{ AU}$

1. Velocidad circular inicial  $v_{c1}$

$$v_{c1} = \frac{29.7847}{\sqrt{1.3}} \approx 26.1229\text{ km/s}$$

2. Velocidad en el perihelio   $v_p$

$$v_p = 26.1229\text{ km/s} + 5.0000\text{ km/s} = 31.1229\text{ km/s}$$

3.  Semieje mayor $a$ de la nueva órbita

Expresando el término $\frac{v_p^2}{\mu}$ en unidades de $\text{AU}^{-1}$:

$$\frac{v_p^2}{\mu} = \frac{(31.1229)^2}{(29.7847)^2 \times 1\text{ AU}} = \frac{968.635}{887.128} \approx 1.09188\text{ AU}^{-1}$$

Sustituyendo en la ecuación del semieje mayor:

$$\frac{1}{a} = \frac{2}{1.3\text{ AU}} - 1.09188\text{ AU}^{-1} = 1.53846 - 1.09188 = 0.44658\text{ AU}^{-1}$$

$$a = \frac{1}{0.44658} \approx 2.2392\text{ AU}$$

(Verificación: El aphelio de la órbita es $r_a = 2a - r_p = 2(2.2392) - 1.3 = 3.178\text{ AU}$. Como $3.178\text{ AU} > 2.8\text{ AU}$, la órbita cruza efectivamente la órbita de Ceres).

4. Velocidad de la nave $v_{\text{sc}}$ al cruzar $r_C = 2.8\text{ AU}$

$$v_{\text{sc}}^2 = (29.7847)^2 \times \left( \frac{2}{2.8} - \frac{1}{2.2392} \right)$$

$$v_{\text{sc}}^2 = 887.128 \times (0.71429 - 0.44658) = 887.128 \times 0.26771 = 237.49\text{ (km/s)}^2$$

$$v_{\text{sc}} = \sqrt{237.49} \approx 15.411\text{ km/s}$$

5. Componentes de velocidad de la nave en  $r_C$

• Componente transversal ($v_\theta$):

  $$v_\theta = \frac{1.3\text{ AU} \times 31.1229\text{ km/s}}{2.8\text{ AU}} \approx 14.450\text{ km/s}$$

• Componente radial ($v_r$):

  $$v_r = \sqrt{v_{\text{sc}}^2 - v_\theta^2} = \sqrt{237.49 - (14.450)^2} = \sqrt{237.49 - 208.80} = \sqrt{28.69} \approx 5.356\text{ km/s}$$

6. Velocidad de Ceres  ($v_C$)

$$v_C = \frac{29.7847}{\sqrt{2.8}} \approx 17.800\text{ km/s}$$

7. Cálculo de la velocidad relativa ($v_{\text{rel}}$)

Calculamos la diferencia entre componentes:

• $\Delta v_r = 5.356\text{ km/s}$

• $\Delta v_\theta = 14.450\text{ km/s} - 17.800\text{ km/s} = -3.350\text{ km/s}$

Magnitud final de la velocidad relativa:

$$v_{\text{rel}} = \sqrt{(5.356)^2 + (-3.350)^2} = \sqrt{28.687 + 11.223} = \sqrt{39.910} \approx 6.32\text{ km/s}$$

Análisis Didáctico y Conclusiones

1. Justificación del dato de distancia ($10^6\text{ km}$):

   El enunciado indica que la distancia entre la nave y Ceres al momento del cruce es de 10⁶ km ($10^9\text{ m}$). En términos astrodinámicos, esta distancia es sumamente útil por dos motivos:

   • Cero interferencia gravitacional: La esfera de influencia gravitacional de Ceres es pequeña debido a su masa ($M_C \approx 9.4 \times 10^{20}\text{ kg}$). A un millón de kilómetros, la velocidad de escape respecto a Ceres es de apenas 0.35 m/s, valor completamente despreciable frente a los 6.32 km/s de velocidad relativa heliocéntrica.

   • Aproximación geométrica: Representa una distancia lo suficientemente pequeña como para asumir que la nave está exactamente en el radio heliocéntrico $r = 2.8\text{ AU}$, pero lo suficientemente grande como para no considerar el problema como un encuentro cercano acoplado o colisión.

2. Geometría del encuentro:

   La velocidad relativa de 6.32 km/s tiene un componente radial dominante (5.356 km/s) dirigido hacia afuera del Sol y un componente transversal (-3.350 km/s) que indica que la nave se mueve más lento azimutalmente que Ceres en ese punto. Esto se debe a que la nave está perdiendo velocidad cinemática a medida que gana energía potencial alejándose hacia el afelio.

3. Conclusión:

   La velocidad relativa con la que la nave espacial sobrevuela la órbita de Ceres en su primer cruce es de 6.32 km/s.

SIMULADOR

Simulador Orbital: Intercepción de Ceres

Órbita Inicial Nave ($r_1$ en UA):

Impulso Tangencial ($\Delta v$ en km/s):

Órbita de Ceres ($r_C$ en UA):

Semieje Mayor ($a$)

-

Excentricidad ($e$)

-

Afelio ($r_a$)

-

Vel. Nave en Cruce ($v_{sc}$)

-

Velocidad Ceres ($v_C$)

-

Velocidad Relativa ($v_{rel}$)

-

Ejercicio 1 OWAO: La anti-tierra

 

LA ANTI-TIERRA

Ejercicio de la OWAO

Imagina que la Anti-Tierra realmente existe y se mueve exactamente a lo largo de la órbita de la Tierra de modo que pasa por el afelio en el momento en que la Tierra pasa por el perihelio y viceversa. Desprecia la interacción gravitatoria entre la Tierra y la Anti-Tierra. Supon que en un determinado momento la Tierra se encuentra en el perihelio y la Anti-Tierra en el afelio. ¿Cuál de ellas cruzará antes el eje menor de la órbita y con cuánta anticipación? ¿Pueden los observadores detectar la Anti-Tierra cuando la Tierra cruce el eje menor de la órbita?

SOLUCIÓN

1. Comprensión del Sistema y Geometría

La Tierra y la Anti-Tierra comparten la misma órbita elíptica alrededor del Sol, pero en posiciones opuestas.

• El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse, desplazado del centro una distancia $c = ea$, donde $e$ es la excentricidad ($0.0167$ para la Tierra) y $a$ es el semieje mayor.
• En el instante inicial ($t = 0$), la Tierra está en el perihelio (el punto más cercano al Sol) y la Anti-Tierra en el afelio (el punto más lejano).

2. Aplicación de la Segunda Ley de Kepler

La Segunda Ley de Kepler establece que el radio vector que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

• El área total de la elipse es $A = \pi a b$, donde $b$ es el semieje menor.
• El tiempo total para completar esta área es el periodo orbital de la Tierra ($T_\oplus \approx 365.26\text{ días}$).
• Por lo tanto, la relación entre el tiempo empleado $t$ y el área barrida $A_{\text{barrida}}$ es:
  $$\frac{t}{T_\oplus} = \frac{A_{\text{barrida}}}{A}$$

3. Cálculo del Tiempo para Llegar al Eje Menor

El eje menor de la órbita pasa exactamente por el centro de la elipse. Al calcular el área desde el foco (el Sol) hasta el eje menor, observamos la geometría del diagrama:

1. Área de un cuarto de elipse ($A_1$): Es la cuarta parte del área total con respecto al centro:
   $$A_1 = \frac{A}{4}$$
2. Área del triángulo formado por el desplazamiento del Sol ($A_2$): Es el triángulo sombreado que tiene como base la distancia centro-foco $c$ y altura el semieje menor $b$:
   $$A_2 = \frac{1}{2} b c = \frac{1}{2} b (ea) = \frac{e}{2}ab$$
   Como el área total es $A = \pi ab \implies ab = \frac{A}{\pi}$, sustituimos:
   $$A_2 = \frac{e}{2\pi}A$$

• Para la Tierra ($T_E$): Como viaja desde el perihelio (más cerca del Sol), se mueve más rápido. El área que barre su radio vector desde el foco hasta el eje menor es el cuarto de elipse menos el triángulo $A_2$:
  $$T_E = \left(\frac{1}{4} - \frac{e}{2\pi}\right) T_\oplus$$
• Para la Anti-Tierra ($T_A$): Como viaja desde el afelio (más lejos), se mueve más lento. El área que barre desde el foco hasta el eje menor es el cuarto de elipse más el triángulo $A_2$:
  $$T_A = \left(\frac{1}{4} + \frac{e}{2\pi}\right) T_\oplus$$

4. ¿Quién llega antes y por cuánto tiempo?

Dado que $T_E < T_A$, la Tierra cruzará el eje menor primero.

La diferencia de tiempo ($\Delta \tau$) entre ambas es:
$$\Delta \tau = T_A - T_E = \left[ \left(\frac{1}{4} + \frac{e}{2\pi}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{e}{2\pi}\right) \right] T_\oplus = \frac{e}{\pi} T_\oplus$$

Sustituyendo los valores reales de la órbita terrestre ($e = 0.0167$ y $T_\oplus = 365.26\text{ días}$):
$$\Delta \tau = \frac{0.0167}{3.1416} \times 365.26\text{ días} \approx 1.94\text{ días} \approx 2\text{ días}$$

Respuesta 1: La Tierra llega primero, con una diferencia de aproximadamente 2 días.

5. ¿Es detectable la Anti-Tierra desde la Tierra?

Cuando la Tierra cruza el eje menor, la Anti-Tierra aún no ha llegado al suyo (le faltan 2 días de camino).

Calculamos el desplazamiento del Sol respecto al centro de la órbita ($c$):
$$c = e \times a = 0.0167 \times 149.6 \times 10^6\text{ km} \approx 2.5 \times 10^6\text{ km}$$

Sabiendo que el radio del Sol ($R_\odot$) es de aproximadamente $696,340\text{ km}$:
$$c \approx \frac{2.5 \times 10^6\text{ km}}{696,340\text{ km}} \approx 3.6 R_\odot$$

Debido a que el Sol está desplazado más de 3.6 veces su propio radio respecto al centro geométrico, la línea de visión desde la Tierra hacia la Anti-Tierra no pasa por detrás del disco solar.

Respuesta 2: Sí, los observadores pueden detectar la Anti-Tierra, ya que aparecerá visualmente al lado del Sol en el cielo en ese momento, libre de ocultación.

El siguiente applet simula la solución

Simulación: Tierra, Anti-Tierra y Ley de Áreas

Excentricidad: 0.2500

A) Tierra (Perihelio → Eje Menor): 0.0000 días

B) Anti-Tierra (Afelio → Eje Menor): 0.0000 días

C) Diferencia de Tiempo: 0.0000 días

Geometría de Kepler: El punto amarillo es el Sol (Foco). Las líneas verticales grises marcan el Eje Menor (Centro geométrico). Observa cómo el sector azul (Tierra) tiene menos área geométrica hasta el eje menor que el sector rojo (Anti-Tierra), lo que explica por qué la Tierra llega antes al eje menor.