Ejercicio 3 OWAO: Ecuación del tiempo

 

PLANETAS TIERRA Y MARTE

ECUACIÓN DEL TIEMPO Y ANALEMA

Un analema (del griego antiguo αναλημμα – “soporte”) es un diagrama que muestra la posición del Sol en el cielo vista desde una ubicación fija en la Tierra a la misma hora solar media, a medida que esa posición varía a lo largo de un año. Está directamente relacionado con la llamada ecuación del tiempo —la diferencia entre el tiempo solar medio y el verdadero (es decir, la diferencia entre las ascensiones rectas del Sol verdadero y el medio)—:

$$\eta = t_{\text{medio}} - t_{\text{verdadero}} = \alpha_{\text{verdadero}} - \alpha_{\text{medio}}$$

Esta diferencia se debe a dos razones: la inclinación del eje de rotación del planeta (oblicuidad) y la excentricidad de su órbita.

Suponga que el planeta pasa por el perihelio en el instante $t = 0$. Si el planeta se moviera uniformemente, su posición estaría determinada por la anomalía media:

$$M(t) = \frac{2\pi t}{T}$$

donde $T$ es el período orbital del planeta.

La posición real del planeta en su órbita está determinada por la anomalía verdadera $\nu$. La anomalía verdadera $\nu$ se relaciona geométricamente con la anomalía excéntrica $E$, la cual muestra la posición de un punto imaginario sobre el círculo auxiliar (ver figura 1).

A continuación se detalla la descripción, paso a paso y con precisión matemática y técnica, el procedimiento utilizado para construir el applet interactivo de la gráfica $(\nu - M)$ vs $t$ para la Tierra y Marte. 

Tenga en cuenta que:

$$\tan \frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan \frac{E}{2}$$

donde $e$ es la excentricidad de la órbita del planeta. Además, las anomalías media y excéntrica (expresadas en radianes) se relacionan mediante la ecuación de Kepler:

$$E - e \cdot \sin E = M$$

• a) Grafique la diferencia $(\nu - M)$ como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte. Por conveniencia, exprese $(\nu - M)$ en minutos "locales": 1 día solar = 24 horas, 1 hora = 60 minutos.

Sea $x$ la longitud eclíptica del Sol medida desde el equinoccio vernal para el planeta cuando este se encuentra en el perihelio. Puede encontrar los valores correspondientes en la Tabla de Constantes.

• b) Exprese la longitud eclíptica "local" del Sol $\lambda$ en términos de $\nu$ y $x$.

Los ángulos horarios y las ascensiones rectas se miden a lo largo del ecuador celeste. Dado que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste por un ángulo $\epsilon$, ambos parámetros se relacionan con la longitud eclíptica de forma no lineal. Por ejemplo, para la ascensión recta $\alpha$ tenemos:

$$\tan \alpha = \tan \lambda \cdot \cos \epsilon$$

• c) Grafique la diferencia $(\alpha - \lambda)$ expresada en minutos "locales" como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte.

La ecuación del tiempo se puede representar como la suma:

$$\eta(t) = (\nu - M) + (\alpha - \lambda)$$

• d) Grafique la ecuación del tiempo $\eta$ expresada en minutos "locales" como una función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte.

La declinación del Sol $\delta$ se puede expresar mediante la fórmula:

$$\sin \delta = \sin \lambda \cdot \sin \epsilon$$

• e) Grafique el analema correspondiente al mediodía medio para un observador en latitudes medias del Hemisferio Norte de la Tierra y Marte (el norte es hacia arriba, el oeste es a la derecha).

• f) En la Figura 2 se muestran los analemas de cinco planetas imaginarios. Determine los parámetros $e$, $x$ y $\epsilon$ para cada modelo. En caso de que existan varias respuestas posibles, por favor proporcione cualquiera de ellas.

• 
  

SOLUCIÓN

a) Grafica de $(\nu - M)$ en función del tiempo $t \in [0; T]$ para las órbitas de la Tierra y Marte.

 1. Fundamento Teórico y Conversión de Unidades

 

El objetivo de la gráfica es representar la contribución exclusiva de la excentricidad orbital ($\nu - M$) a la Ecuación del Tiempo a lo largo de una órbita completa ($t \in [0, T]$). Para lograr una representación astronómicamente exacta, no se utiliza aproximaciones lineales de primer orden, sino la solución exacta de la mecánica celeste orbital: 

      a. Anomalía media ($M$): Proporcional al tiempo transcurrido $t/T$: $$M(t) = 2\pi \left(\frac{t}{T}\right)$$ 

       b. Ecuación de Kepler: Relaciona $M$ con la anomalía excéntrica ($E$): $$E - e \sin E = M$$ 

      c. Anomalía verdadera ($\nu$): Obtención del ángulo real de la posición del planeta: $$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\left(\frac{E}{2}\right)$$ 

     d. Conversión a minutos locales: La diferencia angular $(\nu - M)$ en radianes se multiplica por el factor de conversión del día solar: $$\text{Factor} = \frac{1440 \text{ minutos}}{2\pi \text{ radianes}} \approx 229.1831 \text{ min/rad}$$ 

 2. Algoritmo numérico de cálculo

El procesamiento de datos se ejecuta punto a punto para cada planeta según esta esta secuencia: 

     Paso 1: Inicialización de datos de entrada. Se asignan las excentricidades reales: 0.0167 para la Tierra y 0.0934 para Marte. Se discretiza la órbita dividiendo el tiempo $t/T$ en 200 intervalos iguales entre 0.0 y 1.0. 

     Paso 2: Cálculo de la anomalía media ($M$).  Para una fracción de tiempo dada $t/T$, se evalúa $M = 2\pi \cdot (t/T)$ en radianes.

     Paso 3: Resolución numérica de la Ecuación de Kepler.  Dado que la ecuación $E - e \sin E = M$ es trascendente y no puede despejarse analíticamente, el código implementa el **método de Newton-Raphson** para encontrar $E$: Se toma como estimación inicial $E_0 = M$. Se itera 7 veces aplicando la fórmula de corrección: $$E_{k+1} = E_k - \frac{E_k - e \sin(E_k) - M}{1 - e \cos(E_k)}$$ * Con 7 iteraciones se alcanza precisión a nivel de máquina de doble flotante (suficiente para $e < 0.99$). 

     Paso 4: Cálculo de la anomalía verdadera ($\nu$).  Con $E$ resuelto, se calcula $\nu$ aplicando la función arcotangente: $$\nu = 2 \cdot \arctan\left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right) \right)$$ Si la función devuelve un ángulo negativo, se le suman $2\pi$ radianes para mantener el rango de $[0, 2\pi]$.

    Paso 5: Normalización y conversión a tiempo local. Se calcula la diferencia $\Delta = \nu - M$. Se ajusta el rango de la diferencia al intervalo $[-\pi, \pi]$ para evitar saltos de discontinuidad.  Se multiplica la diferencia por 1440 / 2π** para obtener el resultado final en **minutos locales**. 

3. Gráfico 

  

La solución dada por OWAO muestra la siguiente gráfica para los planetas Tierra y Marte.

 

A continuación, se presenta una solución grafíca interactiva con el siguiente applet elaborado con Python. ¡Observa que coinciden a la perfección!  

    

Efecto de la Excentricidad: $(\nu - M)$ vs $t$

Comparativa entre la Tierra ($e = 0.0167$) y Marte ($e = 0.0934$)

Tierra ($e = 0.0167$) Marte ($e = 0.0934$)

TIERRA $(\nu - M)$

-

MARTE $(\nu - M)$

-

b) Los parámetros $\lambda$, $\nu$ y $x$ se miden a lo largo de la eclíptica «local» en la misma dirección. Además, $\Delta\lambda = \Delta\nu$. Cuando el planeta se encuentra en el perihelio, $\lambda = x$ y $\nu = 0$, por lo que:

$$\lambda = \nu + x$$

Los ángulos horarios y las ascensiones rectas se miden a lo largo del ecuador celeste. Dado que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste un ángulo $\varepsilon$, ambos parámetros se relacionan de forma no lineal con la longitud eclíptica. Por ejemplo, para la ascensión recta $\alpha$ tenemos:

$$\tan \alpha = \tan \lambda \cdot \cos \varepsilon$$

C) Gráfica $(\alpha - \lambda)$ en función del tiempo t.

1. Fundamento teórico

El término $(\alpha - \lambda)$ representa la contribución exclusiva de la oblicuidad de la eclíptica ($\epsilon$, la inclinación del eje del planeta) a la Ecuación del Tiempo.

• $\lambda$ (longitud eclíptica del Sol): Mide la posición del Sol a lo largo del plano de la eclíptica (el plano orbital del planeta).

• $\alpha$ (ascensión recta del Sol): Mide la proyección de la posición del Sol sobre el ecuador celeste.

Debido a que la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste por un ángulo $\epsilon$, la proyección no es uniforme: aunque el Sol avance a un ritmo constante a lo largo de la eclíptica, su sombra proyectada en el ecuador celeste ($\alpha$) se acelera cerca de los solsticios y se desacelera cerca de los equinoccios.

La relación entre ambas coordenadas viene dada por la trigonometría esférica:

$$\tan \alpha = \tan \lambda \cdot \cos \epsilon$$

2. Desarrollo matemático 

Para calcular y graficar $(\alpha - \lambda)$ en función del tiempo transcurrido $t \in [0, T]$:

Paso 1: Cálculo de la anomalía media ($M$) y verdadera ($\nu$)

Para cada tiempo $t/T$:

1. $M(t) = 2\pi \left(\frac{t}{T}\right)$

2. Se resuelve la Ecuación de Kepler $E - e \sin E = M$ mediante el método de Newton-Raphson.

3. Se calcula la anomalía verdadera $\nu$:

   $$\nu = 2 \cdot \arctan\left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\left(\frac{E}{2}\right) \right)$$

    Paso 2: Obtención de la longitud eclíptica ($\lambda$)

Con el valor de $\nu$ y conociendo la posición del perihelio $x$ medida desde el equinoccio vernal:

$$\lambda = \nu + x$$

    Paso 3: Obtención de la ascensión recta ($\alpha$)

Aplicando la arcotangente de dos argumentos para asegurar la continuidad en los 4 cuadrantes:

$$\alpha = \text{atan2}(\sin \lambda \cdot \cos \epsilon, \cos \lambda)$$

    Paso 4: Ajuste de rango y conversión a minutos locales

Se ajusta la diferencia $\Delta = \alpha - \lambda$ al rango $[-\pi, \pi]$ para evitar saltos discontinuos de $2\pi$ cuando el Sol cruza el equinoccio. Finalmente, se convierte a minutos de tiempo local:

$$(\alpha - \lambda)_{\text{minutos}} = (\alpha - \lambda)_{\text{radianes}} \cdot \left( \frac{1440 \text{ min}}{2\pi \text{ rad}} \right)$$

3. Parámetros astronómicos utilizados

Parámetro	Descripción	Tierra	Marte
$e$	Excentricidad orbital	$0.0167$	$0.0934$
$\epsilon$	Oblicuidad de la eclíptica	$23.44^\circ$ ($0.4091\text{ rad}$)	$25.19^\circ$ ($0.4396\text{ rad}$)
$x$	Longitud eclíptica del Sol en el perihelio	$282.9^\circ$ ($4.938\text{ rad}$)	$336.1^\circ$ ($5.866\text{ rad}$)

4.  Características principales del comportamiento de $(\alpha - \lambda)$

• Periodicidad semi-anual: A diferencia del efecto de la excentricidad $(\nu - M)$ que realiza un solo ciclo por año, la curva $(\alpha - \lambda)$ realiza dos ciclos completos por órbita (onda semianual con 4 ceros situados en los equinoccios y solsticios).

• Amplitud: Alcanza máximos y mínimos cercanos a los $\pm 9.8 \text{ minutos}$ para la Tierra ($\epsilon = 23.44^\circ$) y $\pm 11.5 \text{ minutos}$ para Marte ($\epsilon = 25.19^\circ$).

• Desfase por el perihelio ($x$): Las curvas están desplazadas horizontalmente debido a que los perihelios de la Tierra y Marte no coinciden exactamente con la posición del equinoccio vernal.

En la siguiente figura se muestra la función $(\nu - M)$ en función del tiempo t para la Tierra. Para obtener la gráfica correspondiente para Marte pulsa en el botón rojo. 

  Estructurado y  desarrollado con la asistencia de Gemini (Google AI).

La figura anterior representa la función $(\nu - M)$ para un planeta en particular. Sin embargo, sí pulsas en esa imagen puedes desplegaar el applet "Ecuación del Tiempo y Analemas". Con este applet se puede calcular $(\nu - M)$, $(\alpha - \lambda)$, $\nu$ y sus correspondientes analemas, tanto para la Tierra y Marte, como para los 5 planetas diferentes del problema.

REFERENCIAS 

    1. Open World Astronomy Olympiad. (2024). 2024 Practical Round:         Solutions (Problem 2, pp. 6–18). OWAO. [https://my.sirius.online/content/OWAO_2024_Practical_Round_Solutions.pdf]

    2. Google. (2026). Gemini (Versión de agosto de 2026) [Modelo de lenguaje grande]. https://gemini.google.com